Kalibrering og sammenlikning av resultater

Læringsutbytte

Etter å ha arbeidet med dette temaet, skal du kunne:

1. bruke lineær regresjon til å lage en kalibreringsmodell

2. tolke stigningstall, konstantledd og \(R^2\) i en kjemisk sammenheng

3. bruke modellen til å bestemme en ukjent konsentrasjon

4. forklare hva en nullhypotese og en p-verdi betyr

5. velge mellom ettutvalgs t-test, uavhengig t-test og paret t-test i enkle kjemiske situasjoner

6. vurdere én mistenkelig måling på en dokumentert måte

I forrige kapittel brukte vi statistikk til å beskrive måleserier og usikkerheten i et gjennomsnitt. Nå skal vi bruke de samme ideene til to vanlige oppgaver i kjemi:

1. Vi lager en kalibreringsmodell og bruker den til å bestemme en ukjent konsentrasjon.

2. Vi sammenlikner et måleresultat med en referanseverdi, eller undersøker forskjeller mellom grupper og analysemetoder.

Målet er ikke å samle flest mulig statistiske tester. Målet er å velge en metode som svarer på det kjemiske spørsmålet vårt.

Del 1: Fra kalibreringsstandarder til ukjent konsentrasjon

Den kjemiske modellen

I UV–Vis-spektroskopi beskriver Beer–Lamberts lov sammenhengen mellom absorbans og konsentrasjon:

\[ A=\varepsilon lc \]

Her er \(A\) absorbansen, \(\varepsilon\) den molare absorptiviteten, \(l\) lysveien og \(c\) konsentrasjonen. Når lysveien og de kjemiske betingelsene er konstante, forventer vi at absorbansen øker lineært med konsentrasjonen.

Virkelige målinger ligger ikke på en helt perfekt linje. Derfor tilpasser vi en rett linje til kalibreringsdataene:

\[ A=ac+b \]

Her er \(a\) stigningstallet og \(b\) konstantleddet.

Kalibreringsmodell

En kalibreringsmodell beskriver sammenhengen mellom et målt signal og kjente verdier av størrelsen vi vil bestemme. Modellen brukes deretter til å anslå verdien i en ukjent prøve innenfor det undersøkte området.

Den rette linja er en forenklet modell som gjelder i konsentrasjonsområdet vi har undersøkt.

Se på dataene først

Vi leser inn blankprøvene og kalibreringsstandardene:

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

data = pd.read_csv("data/uvvis_calibration.csv")
standards = data[data["sample_type"].isin(["blank", "standard"])]

plt.scatter(standards["concentration_uM"], standards["absorbance"])
plt.xlabel("Concentration (µmol/L)")
plt.ylabel("Absorbance")
plt.title("UV–Vis calibration data")
plt.show()

Punktene ser ut til å følge en omtrent rett linje. Det gir oss en kjemisk og visuell grunn til å prøve en lineær modell.

Lineær regresjon

Lineær regresjon

Lineær regresjon er en metode for å tilpasse en rett linje til datapunkter. Linja velges slik at den samlet ligger så nær målepunktene som mulig.

Vi bruker linregress fra SciPy til å finne den rette linja som passer best til punktene:

import numpy as np
from scipy import stats

concentrations = standards["concentration_uM"]
absorbances = standards["absorbance"]

result = stats.linregress(concentrations, absorbances)
slope = result.slope
intercept = result.intercept
r_squared = result.rvalue**2

print(f"Slope: {slope:.5f} L/µmol")
print(f"Intercept: {intercept:.5f}")
print(f"R²: {r_squared:.6f}")

Slope: 0.07989 L/µmol
Intercept: 0.01037
R²: 0.999964

Resultatet fra linregress inneholder blant annet stigningstall, konstantledd og korrelasjonskoeffisient. Vi kvadrerer korrelasjonskoeffisienten for å få \(R^2\). Disse tre tallene må tolkes kjemisk.

Stigningstallet

Stigningstallet forteller hvor mye absorbansen ifølge modellen øker når konsentrasjonen øker med 1 µmol/L. Et brattere stigningstall betyr at signalet endres mer for en gitt konsentrasjonsendring. I denne sammenhengen sier vi at metoden har større følsomhet.

Stigningstallet er ikke det samme som presisjon. To metoder kan ha samme stigningstall, men ulik spredning mellom replikatene.

Konstantleddet

Konstantleddet er absorbansen modellen forventer når konsentrasjonen er null. Det kan blant annet påvirkes av blankbidrag og instrumentets nullpunkt.

Beer–Lamberts lov kan skrives uten konstantledd, men vi bør ikke automatisk tvinge regresjonslinja gjennom origo. Det krever at vi har en god faglig grunn til å anta at signalet virkelig er null ved konsentrasjon null.

\(R^2\)

Forklaringsgraden \(R^2\)

\(R^2\) er et tall mellom 0 og 1 som beskriver hvor godt variasjonen i målepunktene følger den lineære modellen. En verdi nær 1 betyr at punktene ligger nær en rett linje.

\(R^2\) beskriver hvor mye av variasjonen i absorbansen som den rette linja fanger opp i dette datasettet. En verdi nær 1 passer med at punktene ligger nær en rett linje.

Et høyt \(R^2\) er likevel ikke et kvalitetsstempel alene. Vi må også se på punktene, kontrollere at den ukjente prøven ligger i kalibreringsområdet og vurdere om modellen er kjemisk rimelig. En modell kan få høyt \(R^2\) selv om enkelte målinger er dårlige eller det høyeste konsentrasjonsområdet begynner å avvike fra Beer–Lamberts lov.

Vis data og modell sammen

x_model = np.linspace(standards["concentration_uM"].min(), standards["concentration_uM"].max(), 100)
y_model = slope * x_model + intercept

plt.scatter(standards["concentration_uM"], standards["absorbance"], label="Measurements")
plt.plot(x_model, y_model, color="#b23a48", label="Linear model")
plt.xlabel("Concentration (µmol/L)")
plt.ylabel("Absorbance")
plt.legend()
plt.show()

Vi beholder råmålingene i figuren. Dersom vi bare viser ett gjennomsnitt for hver konsentrasjon, skjuler vi variasjonen mellom replikatene.

Bestem den ukjente konsentrasjonen

For en ukjent prøve måler vi absorbansen og løser likningen med hensyn på konsentrasjonen:

\[ c=\frac{A-b}{a} \]

unknown = data[data["sample_type"] == "unknown"]
unknown_mean_absorbance = unknown["absorbance"].mean()

unknown_concentration = unknown_mean_absorbance-intercept/ slope

print(f"Mean unknown absorbance: {unknown_mean_absorbance:.3f}")
print(f"Estimated concentration: {unknown_concentration:.2f} µmol/L")

Mean unknown absorbance: 0.604
Estimated concentration: 0.47 µmol/L

Dette er et punktestimat. Det betyr at vi får ett beste anslag, men ikke at konsentrasjonen er kjent uten usikkerhet. Replikatene til den ukjente prøven varierer, og selve kalibreringslinja er også bestemt fra målinger med variasjon.

Vi skal ikke beregne hele usikkerheten i den ukjente konsentrasjonen her. Det viktigste på dette nivået er å være klar over at svaret ikke blir nøyaktig bare fordi Python skriver ut mange desimaler.

Du kan utforske kalibreringen i editoren nedenfor.

Underveisoppgave

1. Legg til 0,01 i alle absorbansverdiene. Hva skjer med stigningstallet og konstantleddet?

2. Endre bare den høyeste kalibreringsstandarden. Hva skjer med linja og \(R^2\)?

3. Prøv en ukjent absorbans som er høyere enn alle standardene. Hvorfor bør vi være forsiktige med svaret?

Løsningsforslag

Når alle absorbansene økes like mye, endres først og fremst konstantleddet. En endring i ett kalibreringspunkt kan påvirke både stigningstall og \(R^2\). En ukjent absorbans utenfor området krever ekstrapolasjon: Vi antar da at den lineære sammenhengen fortsetter i et område vi ikke har undersøkt.

Del 2: Sammenlikne et resultat med en referanseverdi

Tenk deg at vi analyserer et sertifisert referansemateriale. Den sertifiserte konsentrasjonen er 5,00 mg/L, og vi får disse resultatene:

measurements_mg_L = np.array([5.12, 5.08, 5.15, 5.10, 5.13])
reference_value = 5.00

Gjennomsnittet er 5,116 mg/L. Forskjellen fra 5,00 mg/L kan skyldes tilfeldig målevariasjon, men den kan også tyde på at metoden gir systematisk for høye resultater.

Start med konfidensintervallet

I forrige kapittel beregnet vi et 95 % konfidensintervall fra omtrent 5,082 til 5,150 mg/L. Referanseverdien 5,00 mg/L ligger utenfor intervallet. Det forteller oss at 5,00 mg/L er vanskelig å forene med måleserien dersom antakelsene bak intervallet er rimelige.

Konfidensintervallet er ofte et godt sted å starte fordi det viser både estimatet og usikkerheten. Vi kan også formulere spørsmålet som en hypotesetest.

Hypotesetesting med t-tester

En t-test brukes når vi ønsker å undersøke om en observert forskjell er større enn det vi rimeligvis kan forvente fra tilfeldig variasjon. Forskjellen kan være mellom et målt gjennomsnitt og en kjent referanseverdi, eller mellom gjennomsnittene til to grupper.

Før vi utfører testen, formulerer vi to hypoteser:

Nullhypotese og alternativ hypotese

• Nullhypotesen (\(H_0\)) antar at det ikke finnes noen reell forskjell i størrelsen vi undersøker.

• Den alternative hypotesen (\(H_1\)) antar at det finnes en reell forskjell.

Testen gir blant annet en t-statistikk og en p-verdi. t-statistikken beskriver hvor stor den observerte forskjellen er i forhold til standardfeilen. En stor absoluttverdi av \(t\) betyr at forskjellen er stor sammenliknet med den tilfeldige variasjonen vi forventer.

P-verdi

P-verdien er sannsynligheten for å observere et resultat som er minst like ekstremt som det vi fikk, dersom nullhypotesen er sann.

En liten p-verdi betyr derfor at resultatet er lite forenlig med nullhypotesen.

Vi velger et signifikansnivå før testen, ofte \(\alpha=0.05\). Dersom p-verdien er mindre enn 0,05, forkaster vi nullhypotesen og sier at resultatet er statistisk signifikant. Et signifikansnivå på 0,05 innebærer at en slik testprosedyre vil forkaste en sann nullhypotese i omtrent 5 % av gjentatte forsøk, dersom forutsetningene for testen er oppfylt.

Statistisk signifikans sier ikke hvor stor eller kjemisk viktig forskjellen er. Derfor bør p-verdien alltid vurderes sammen med selve forskjellen, måleusikkerheten og den kjemiske sammenhengen.

Vi kan bruke ulike t-tester avhengig av forsøksdesignet:

Situasjon	Test
Ett utvalg mot en kjent referanseverdi	Ettutvalgs t-test
To uavhengige grupper	Uavhengig t-test
De samme prøvene målt to ganger	Paret t-test

I denne notebooken bruker vi alle tre variantene.

Ettutvalgs t-test

En ettutvalgs t-test brukes når vi har én måleserie og vil undersøke om middelverdien avviker fra en kjent eller sertifisert verdi. Her er nullhypotesen at den sanne middelverdien er lik referanseverdien:

\[H_0:\ \mu=5.00\ \mathrm{mg/L}\]

For målingene av referansematerialet bruker vi ttest_1samp:

from scipy import stats

test = stats.ttest_1samp(measurements_mg_L, popmean=reference_value)

print(f"t statistic: {test.statistic:.3f}")
print(f"p value: {test.pvalue:.5f}")

t statistic: 9.600
p value: 0.00066

Her er t-statistikken positiv fordi gjennomsnittet av målingene ligger over referanseverdien. P-verdien er mindre enn 0,05, og dataene gir dermed grunnlag for å forkaste nullhypotesen om at middelverdien er 5,00 mg/L. Vi bør likevel også vurdere størrelsen på avviket. En statistisk tydelig forskjell er ikke nødvendigvis stor nok til å ha kjemisk eller praktisk betydning.

Testen bygger på de samme hovedantakelsene som det t-baserte konfidensintervallet: Målingene skal være uavhengige, og målefordelingen bør være omtrent normal.

Del 4: Sammenlikne to analysemetoder

To metoder brukes på de samme åtte prøvene. Hver rad inneholder derfor et par resultater: ett fra metode A og ett fra metode B.

Del 3: Sammenlikne to uavhengige grupper

En uavhengig t-test brukes når observasjonene i de to gruppene kommer fra forskjellige, uavhengige utvalg. Det finnes da ingen naturlig paring mellom én måling i den ene gruppen og én måling i den andre.

Tenk deg at vi undersøker nitratkonsentrasjonen i vannprøver fra to forskjellige innsjøer. Seks uavhengige prøver er tatt fra hver innsjø. Vi ønsker å undersøke om den gjennomsnittlige nitratkonsentrasjonen er forskjellig mellom innsjøene.

Nullhypotesen er

\[H_0:\ \mu_A=\mu_B\]

mens den alternative hypotesen er at middelverdiene er forskjellige.

Vi bruker ttest_ind fra SciPy. I eksemplet bruker vi Welchs t-test ved å sette equal_var=False. Denne varianten krever ikke at de to populasjonene har samme varians.

innsjø_A = np.array([2.31, 2.45, 2.38, 2.52, 2.41, 2.36])
innsjø_B = np.array([2.68, 2.74, 2.61, 2.79, 2.70, 2.66])

test = stats.ttest_ind(innsjø_A, innsjø_B, equal_var=False)

print(f"Gjennomsnitt A: {np.mean(innsjø_A):.2f} mg/L")
print(f"Gjennomsnitt B: {np.mean(innsjø_B):.2f} mg/L")
print(f"t-statistikk: {test.statistic:.3f}")
print(f"p-verdi: {test.pvalue:.5f}")

I dette eksemplet er p-verdien mindre enn 0,05. Vi forkaster derfor nullhypotesen og konkluderer med at dataene gir evidens for en forskjell i gjennomsnittlig nitratkonsentrasjon mellom de to innsjøene.

Fortegnet til t-statistikken avhenger av rekkefølgen på gruppene. Her er den negativ fordi middelverdien til innsjø_A er lavere enn middelverdien til innsjø_B. For en tosidig test er det først og fremst størrelsen på \(|t|\) og p-verdien som brukes til å vurdere evidensen mot nullhypotesen.

Uavhengig eller paret?

Det avgjørende er forsøksdesignet:

• Uavhengig t-test: observasjonene kommer fra forskjellige, uavhengige prøver eller grupper.

• Paret t-test: hver observasjon i den ene måleserien hører sammen med én bestemt observasjon i den andre.

To lister med like mange tall er altså ikke nødvendigvis parede data.

methods = pd.read_csv("data/method_comparison.csv")

methods["difference_mg_L"] = (
    methods["method_B_mg_L"] - methods["method_A_mg_L"]
)

print(methods[["sample_id", "difference_mg_L"]])

Det er forskjellen innen hvert par som er viktig. En prøve med høy konsentrasjon vil vanligvis gi et høyt resultat med begge metodene. Ved å trekke resultatene fra hverandre undersøker vi om den ene metoden gjennomgående gir høyere eller lavere verdier enn den andre.

Paret t-test

Paret t-test

En paret t-test brukes når de samme prøvene er målt på to måter. Testen undersøker om gjennomsnittet av forskjellene innen hvert prøvepar er forskjellig fra null.

test = stats.ttest_rel(methods["method_B_mg_L"], methods["method_A_mg_L"])

mean_difference = methods["difference_mg_L"].mean()

print(f"Mean paired difference: {mean_difference:.3f} mg/L")
print(f"p value: {test.pvalue:.5f}")

Dersom p-verdien er liten, har vi evidens for en systematisk forskjell mellom metodene. Middelforskjellen forteller hvor stor forskjellen er og hvilken metode som gir de høyeste resultatene.

Vi bør rapportere begge deler. P-verdien alene forteller ikke om forskjellen på for eksempel 0,20 mg/L er viktig for formålet analysen skal brukes til.

Du kan utforske metodesammenlikningen i editoren nedenfor.

Hvorfor ikke behandle resultatene som to uavhengige grupper?

De samme prøvene er målt med begge metodene. Resultatene hører derfor sammen parvis. En test som ignorerer parene, svarer på et annet spørsmål og kaster bort informasjon om forskjellen innen hver prøve.

Hva bruker vi når?

Kjemisk spørsmål	Metode	Eksempel
Hvordan henger signal og konsentrasjon sammen?	Lineær regresjon	Kalibreringskurve i UV–Vis
Hvor usikkert er gjennomsnittet fra en måleserie?	95 % konfidensintervall	Rapportere middelverdien for et referansemateriale
Avviker én måleserie fra en kjent verdi?	Ettutvalgs t-test	Måler vi samme verdi som den sertifiserte konsentrasjonen?
Er middelverdien forskjellig mellom to uavhengige grupper?	Uavhengig t-test (ofte Welch)	Nitrat i vannprøver fra to forskjellige innsjøer
Gir to metoder ulike resultater for de samme prøvene?	Paret t-test	Samme vannprøver analyseres med to metoder
Er én på forhånd mistenkelig verdi uvanlig stor eller liten?	Faglig kontroll, eventuelt Grubbs’ test	Én replikat skiller seg tydelig fra de andre

Legg merke til at testen velges ut fra forsøksdesignet og spørsmålet, ikke ut fra hvilken test som gir ønsket p-verdi.

Del 5: En mistenkelig måling

En verdi som skiller seg tydelig fra resten, kan skyldes feil innskriving, forurensning, feil prøvepreparering, instrumentfeil eller en reell kjemisk forskjell. Før vi beregner en test, bør vi derfor:

1. se på rådataene

2. kontrollere enheter, instrumentlogg og laboratorienotater

3. undersøke om prøven ble behandlet annerledes

4. dokumentere hva vi finner

Vi skal aldri fjerne en verdi bare fordi standardavviket blir mindre eller kalibreringslinja ser penere ut uten den.

Grubbs’ test

Grubbs’ test

Grubbs’ test undersøker om den mest ekstreme observasjonen i en omtrent normalfordelt måleserie er uvanlig langt fra resten. Testen er laget for én på forhånd mistenkelig verdi.

Grubbs’ test kan brukes når én verdi er mistenkelig, og målingene ellers kan antas å komme fra en omtrent normalfordelt populasjon. Testen sammenlikner avstanden fra den mest ekstreme verdien til gjennomsnittet med standardavviket i hele måleserien:

\[ G=\frac{\text{største avstand fra gjennomsnittet}}{s} \]

measurements_mg_L = np.array([10.02, 10.05, 9.98, 10.01, 10.42])
alpha = 0.05

n = len(measurements_mg_L)
mean = np.mean(measurements_mg_L)
sample_sd = np.std(measurements_mg_L, ddof=1)
deviations = np.abs(measurements_mg_L - mean)

suspect_index = np.argmax(deviations)
G_calculated = deviations[suspect_index] / sample_sd

t_critical = stats.t.ppf(1 - alpha / (2 * n), df=n - 2)
G_critical = (n - 1) / np.sqrt(n) * np.sqrt(
    t_critical**2 / (n - 2 + t_critical**2)
)

print(f"G calculated: {G_calculated:.3f}")
print(f"G critical: {G_critical:.3f}")

Dersom den beregnede verdien er større enn den kritiske verdien, flagger testen den mest ekstreme målingen. Det er et signal om at verdien er vanskelig å forene med resten av måleserien under antakelsene til testen.

Det er ikke en automatisk sletteknapp. Testen kan ikke fortelle om avviket skyldes feilpipettering eller en reell forskjell i prøven. Den er også laget for én mulig utligger og bør ikke gjentas til datasettet ser pent ut.

Du kan undersøke testen i editoren nedenfor.

Underveisoppgave

Beregn gjennomsnitt og standardavvik med og uten 10,42 mg/L. Kjør deretter testen. Hvilken informasjon trenger du i tillegg til testresultatet før du eventuelt utelater målingen?

Løsningsforslag

Den høye verdien øker både gjennomsnittet og standardavviket. Før den eventuelt utelates, trenger vi informasjon om blant annet prøvepreparering, instrumentlogg og om prøven kan være kjemisk forskjellig. Beslutningen og konsekvensen for resultatet bør dokumenteres.

En enkel arbeidsflyt

Når vi skal bruke statistikk i et kjemisk arbeid, kan vi følge denne rekkefølgen:

1. Formuler det kjemiske spørsmålet.

2. Finn ut hva hver observasjon representerer, og om målinger hører sammen parvis.

3. Se på rådataene og lag en relevant figur.

4. Velg statistisk størrelse eller test ut fra spørsmålet.

5. Kontroller at forutsetningene er rimelige.

6. Rapporter både tallresultatet og hva det betyr kjemisk.

Python kan utføre beregningen, men valget og tolkningen må fortsatt bygge på forsøket.

Kort oppsummering

• Lineær regresjon kan knytte et målt signal til konsentrasjon i et undersøkt kalibreringsområde.

• Stigningstall, konstantledd og \(R^2\) må tolkes sammen med dataene og den kjemiske modellen.

• Et konfidensintervall viser estimat og usikkerhet. En p-verdi sier hvor uvanlige dataene er under en nullhypotese.

• Ettutvalgs t-test brukes mot én referanseverdi. Uavhengig t-test brukes for to uavhengige grupper. Paret t-test brukes når målingene hører sammen parvis.

• En statistisk forskjell er ikke automatisk kjemisk viktig.

• En mistenkelig verdi må undersøkes faglig. Grubbs’ test kan støtte vurderingen, men ikke erstatte den.

Oppgaver

Oppgave 4.1 – forstå kalibreringslinja

Bruk uvvis_calibration.csv til å utføre en lineær regresjon. Rapporter stigningstall, konstantledd og \(R^2\). Forklar med ord hva stigningstallet og konstantleddet betyr i denne UV–Vis-analysen.

Oppgave 4.2 – bestem en ukjent

Beregn middelabsorbansen til den ukjente prøven og bestem konsentrasjonen med kalibreringsmodellen. Kontroller at signalet ligger innenfor området til standardene. Hvorfor bør du ikke rapportere alle desimalene Python gir?

Oppgave 4.3 – hva kan \(R^2\) fortelle?

En student skriver: «\(R^2=0{,}999\), derfor er konsentrasjonen til den ukjente prøven helt riktig.» Forklar minst tre problemer med denne konklusjonen.

Oppgave 4.4 – referanseverdi

Målingene [99.8, 100.3, 100.1, 99.9, 100.4] mg/L skal sammenliknes med en sertifisert verdi på 100,0 mg/L. Beregn først et 95 % konfidensintervall. Utfør deretter en ettutvalgs t-test. Skriv en konklusjon med vanlig språk.

Oppgave 4.5 – velg riktig metode

Velg mellom lineær regresjon, ettutvalgs t-test, uavhengig t-test, paret t-test og Grubbs’ test. Begrunn valget.

1. En ny metode brukes på ti prøver som også er analysert med referansemetoden.

2. Seks målinger av et sertifisert materiale sammenliknes med sertifikatverdien.

3. Fluorescens måles for fem kjente konsentrasjoner.

4. Nitratinnholdet skal sammenliknes mellom vannprøver fra to forskjellige innsjøer.

5. Én av fem replikater er mistenkelig høy etter en dokumentert pipetteringshendelse.

Oppgave 4.6 – to uavhengige grupper

Utbyttet fra en syntese måles for to katalysatorer i uavhengige forsøk:

• Katalysator A: [78.2, 79.1, 77.8, 80.0, 78.6] %

• Katalysator B: [81.3, 80.7, 82.1, 81.5, 80.9] %

Formuler \(H_0\) og \(H_1\), beregn gjennomsnittet for begge gruppene og utfør en uavhengig t-test med Welch-varianten. Tolk p-verdien og vurder også om størrelsen på forskjellen er kjemisk relevant.

Oppgave 4.7 – to analysemetoder

Bruk method_comparison.csv. Beregn forskjellen mellom metode B og metode A for hver prøve. Finn middelforskjellen og utfør en paret t-test. Gir metode B gjennomgående høyere eller lavere resultater? Er størrelsen på forskjellen viktig for bruksområdet?

Oppgave 4.8 – mistenkelig måling

Bruk måleserien [10.02, 10.05, 9.98, 10.01, 10.42] mg/L. Utfør Grubbs’ test, og skriv deretter en kort beslutningslogg med: observert problem, statistisk resultat, mulig kjemisk forklaring og hvilken mer informasjon du trenger.

Oppgave 4.9 – samlet UV–Vis-case

Bruk uvvis_calibration.csv til å lage et kalibreringsplott, utføre lineær regresjon og bestemme konsentrasjonen til den ukjente prøven. Skriv en kort rapport som inneholder modell, enheter, konsentrasjonsestimat og to begrensninger ved resultatet.

Video

I videoen nedenfor kan du få en innføring eller repetisjon i regresjonsanalyse.