Forelesning 4: Statistikk II

Regresjon II

Mer fleksibilitet: Curve_fit

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2.7, 7.3, 20.1, 56.4, 151.1])

def modell(x, a, b):
    return a*np.exp(b*x)

coeff, covar = curve_fit(modell, x, y)
a, b = coeff

x_ny = np.linspace(1,6,1000)
y_ny = modell(x_ny, a, b)

plt.scatter(x, y)
plt.plot(x_ny, y_ny)

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7fa2a223c2e0>]

Oppgave 1: Analyse av en enzymkatalysert reaksjon

Du studerer en enzymkatalysert reaksjon hvor enzymet katalyserer en reaksjon mellom et substrat og et produkt. Målingene viser følgende konsentrasjoner av substratet (\(S\)) over tid:

Tid (s)	Konsentrasjon (mM)
0	5.0
10	4.3
20	3.8
30	3.2
40	2.8
50	2.4
60	2.0

Lag en eksponentiell modell for nedbrytningen av substratet over tid.

# Kode fra ChatGPT
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

# Data: time in seconds and concentration in mM
time = np.array([0, 10, 20, 30, 40, 50, 60])
concentration = np.array([5.0, 4.3, 3.8, 3.2, 2.8, 2.4, 2.0])

# Define an exponential decay function
def exp_model(t, a, b):
    return a * np.exp(b * t)

# Fit the curve
params, covariance = curve_fit(exp_model, time, concentration)

# Plot the data and the fitted curve
plt.scatter(time, concentration, label='Data', color='red')
plt.plot(time, exp_model(time, *params), label=f'Fit: {params[0]:.2f} * exp({params[1]:.2f} * t)', color='blue')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Concentration (mM)')
plt.title('Exponential Model of Enzyme Activity')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Intel MKL WARNING: Support of Intel(R) Streaming SIMD Extensions 4.2 (Intel(R) SSE4.2) enabled only processors has been deprecated. Intel oneAPI Math Kernel Library 2025.0 will require Intel(R) Advanced Vector Extensions (Intel(R) AVX) instructions.

Enda mer fleksibilitet: Maskinlæring og nevrale nettverk

from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Dense
import numpy as np
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])

# Setter opp modellen
model = Sequential() # Bestemmer type modell
model.add(Dense(1,input_dim=1))
model.compile(optimizer = "adam", loss = "mean_squared_error") 

# Trener modellen
model.fit(x, y, epochs = 100, verbose = 0)

# Bruker modellen
prediksjon = model.predict(x)

plt.scatter(x,y)
plt.plot(x, prediksjon)
plt.show()

Hypotesetesting

Hypotesetesting er en metode for å teste om en antagelse om en populasjon er sann. Vi har en nullhypotese \(H_0\) og en alternativ hypotese \(H_1\). Vi antar at nullhypotesen er sann, og ser hvor sannsynlig det er å observere dataene vi har gitt denne antagelsen. Hvis sannsynligheten er lav, forkaster vi nullhypotesen.

Uavhengig t-test

import numpy as np
from scipy.stats import ttest_ind, ttest_rel, ttest_1samp

alpha = 0.05
pasienter_medisin = np.array([119,121,115,124,124,120])
pasienter_placebo = np.array([136,142,138,134,134,135])

t_verdi, p_verdi = ttest_ind(pasienter_medisin, pasienter_placebo)
if p_verdi < 0.05:
    print("Det er en signifikant forskjell mellom gruppene")
else:
    print("Det er signifikant forskjell mellom gruppene") 

Det er en signifikant forskjell mellom gruppene

Paret t-test

før_rens = np.array([200, 220, 190, 195, 210])
etter_rens = np.array([170, 195, 150, 140, 160])

t_verdi, p_verdi = ttest_rel(før_rens, etter_rens)
print(p_verdi)

0.0021729120027175887

T-test for ett utvalg

koffein = np.array([200, 220, 190, 195, 210])
kjent_snitt = 200

t_verdi, p_verdi = ttest_1samp(koffein, kjent_snitt)
p_verdi

0.607167577712837